A. SISTEM BILANGAN REAL 
Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan dan sifat–sifatnya, berikut adalah skema sistem bilangan

 

Suatu anggota himpunan bilangan bulat dikaitkan dengan sebuah titik pada sebuah garis yang disebut sebagai garis bilangan

Sifat - sifat Bilangan Real

Keterangan:

1. Tertutup: operasi perkalian dan penjumlahan bilangan real menghasilkan bilangan real.
2. Asosiatif: penjumlahan atau perkalian tiga buah bilangan real yang dikelompokkan secara berbeda mempunyai hasil yang sama.
3. Komutatif: pertukaran letak angka pada penjumlahan dan perkalian bilangan real mempunyai hasil sama.
4. Unsur identitas: operasi perkalian dan penjumlahan setiap bilangan real dengan identitasnya dapat menghasilkan bilangan real itu sendiri.
5. Mempunyai Invers: setiap bilangan real mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, suatu bilangan real yang dioperasikan dengan invers menghasilkan unsur identitasnya.
6. Sifat Distributif: suatu penggabungan dengan kombinasi bilangan real dari hasil operasi terhadap elemen-elemen kombinasi tersebut
7. Tidak ada pembagi nol: pembagian bilangan real dengan nol menghasilkan nilai tidak terdefinisi (∞). 
   
   
    
   Jika terdapat beberapa bilangan real kita dapat menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, dan membagi yang biasa disebut pengerjaan(operasi) hitung bilangan. Jika a, b, dan c adalah bilangan real sebarang maka memiliki sifat sebagai berikut.
   1.a + b = b + a (sifat komutatif penjumlahan).
   2.a + (b + c) = (a + b) + c (sifat asosiatif penjumlahan). 
   3.Terdapat bilangan 0 dengan sifat a + 0 = 0 + a = a. 
   4.Untuk setiap bilangan a terdapat penyelesaian khusus persamaan a + x = 0 yang diberi simbol –a. 
   5.ab = ba (sifat komutatif perkalian)
   6.a (bc) = (ab) c (sifat asosiatif perkalian).
   7.Terdapat bilangan 1 dengan sifat a . 1 = 1 . a = a. 
   8.Untuk bilangan a0≠ terdapat penyelesaian khusus untuk ax = 1 yang diberi simbol 1a−.
   9.a(b + c) = ab + ac (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan).  
   10.ab = 0 jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0. 11.(–a)(–b) = ab dan (–a)b = a(–b) = –ab.

B. KETAKSAMAAN  

Dua bilangan real a dan b ditulis a < b (dibaca, a kurang dari b) atau b > a (dibaca, b lebih dari a) jika b – a bertanda positif. Jika a < b mempunyai arti bahwa letak titik yang mewakili b pada garis bilangan terletak di sebelah kanan titik yang mewakili bilangan a.
 Simbol < dan > dinamai simbol ketaksamaan yang memiliki sifat: 1. Jika a≠0 maka berlaku salah satu hubungan a < b, a > b, atau a = b.
2. Jika a < b, dan b < c maka a < c.
3. Jika a < b dan c adalah bilangan real maka a + c < b + c.  
4. Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc.  
5. Jika a < b, dan c < 0 maka ac > bc. 
6. Tidak ada bilangan a sehingga a < a.
7. Jika a > 0, b > 0 maka a < b jika dan hanya jika a2 < b2. 
Kita dapat menuliskan kesamaan dan ketaksamaan dengan satu simbol "≤" atau "≥". Jika ditulis "a≤b" dibaca, "a kurang dari atau sama dengan b". Jika ditulis "a≥b" dibaca, "a lebih dari atau sama dengan b".Jika ditulis "a<b≤c" dibaca b lebih dari a dan b kurang dari atau sama dengan c". Pernyataan "a<b" dinamai ketaksamaan sedangkan "a<b≤c" dinamai ketaksamaan ganda.  
1. Interval Himpunan 
semua bilangan real di antara dua bilangan real tertentu dinamai interval. Himpunan {x| 1<x<6} adalah interval dengan ujung-ujung interval 1 dan 6. Kedua ujung interval bukan anggota interval maka interval tersebut dinamai interval terbuka dan ditulis (1, 6). Dalam bentuk garis bilangan disajikan seperti pada gambar .

 

Jika ujung-ujung interval menjadi anggota maka interval tersebut dinamai interval tertutup. Misal dalam bentuk himpunan {x| 1<x<6} , ditulis [1, 6]
2. Pertaksamaan
Menyelesaikan pertaksamaan harus selalu ingat sifat-sifat ketaksamaan. 
Contoh 1.1:
Tentukanlah himpunan penyelesaian pertaksamaan: 2 – 3x < 5x + 6
Penyelesaian: 
 2 – 3x < 5x + 6  
⇔2 – 3x – 2 < 5x + 6 – 2     
⇔–3x < 5x + 4  
⇔–3x – 5x < 5x + 4 – 5x     
⇔–8x < 4  
⇔x>-1/2                            
Himpunan penyelesaian [-1/2,+∞]

(http://repository.ut.ac.id/4696/1/PEMA4108-M1.pdf)